数学家艾米·诺特 开创了代数的新时代

讲台上的艾米·诺特(文献[4]).

“体胖、声大、不拘小节,善良、幽默、喜欢交往,认识她的人都喜欢她。”
这是数学史家奥古斯特·迪克在艾米·诺特传记中对她的描述。哥廷根的数学家们常常称她为“德·诺特”,一个男性化的名字。虽是玩笑,也包含着对取得杰出成就的诺特的尊敬---她打破了性别的藩篱。(文献[1])

赫尔曼·外尔(1885-1955)是诺特在哥廷根的同事,在大卫·希尔伯特退休后接任数学系主任,由于妻子是犹太人在纳粹上台后去了美国普林斯顿高等研究院。他对诺特的评价是,“她开创了代数思想方法的新时代,是伟大的数学家,数学史上最伟大的女数学家,一位伟大的女性。”

但是当诺特谈到自己的贡献时,常常谦虚地说:“在戴德金的工作中都可以找到。”(文献[3])
埃尔朗根的数学训练

艾米·诺特(1882-1935)1882年3月23日出生在德国埃尔朗根一个犹太人家庭,是家中长女,有三个弟弟。父亲马克斯·诺特是埃尔朗根大学数学教授,母亲伊达·阿马利娅·考夫曼是家庭主妇,喜欢弹钢琴。孩童时期的诺特并不出众,不过在一次孩子们的聚会上诺特的快速反应给人留下了印象。大家在玩猜谜游戏时被问及一道复杂的组合问题,其他孩子刚开始思考,诺特就脱口而出,“答案当然是...... 。”
进入中学后,诺特的兴趣是法语和英语,喜欢跳舞,数学还不是她的职业目标。18岁诺特通过了法语和英语教师资格考试,可以去女子学校教书,但她想进入大学继续学习。那时只有极少数女性能进入大学,但是不能和男生一样注册为正式学生,在得到授课教授同意后可以旁听课程,不能参加考试。被教授拒绝的事时有发生。1900年,诺特和另一位女生进入埃尔朗根大学旁听,而在校的男生有984位。

艾米·诺特已知的最早照片(文献[4]).
埃尔朗根因为菲利克斯·克莱因1872年在埃尔朗根大学的就职演讲而闻名,他把几何用群来分类的观点被称为“埃尔朗根纲领”。诺特从1900到1902年在埃尔朗根大学旁听数学、历史和语言等课程,1903年来到哥廷根大学旁听了赫尔曼·闵可夫斯基、奥托·布卢门塔尔、克莱因和希尔伯特的课,在学期结束后回到埃尔朗根。恰好法律开始允许女生注册为正式学生,拥有与男生相同的权利,于是她在1904年10月注册入学。
诺特参加了父亲和另一位数学教授保罗·戈尔丹(1837-1912)的课。戈尔丹是不变量领域的权威,擅长用构造的方法计算不变量。不变量研究函数、几何图像等在变换下保持不变的性质,例如直线上两点间距离在平移下保持不变,距离就是一个不变量。诺特在戈尔丹影响下写了一篇关于不变量的论文,并作为博士论文在1907年12月完成答辩,取得博士学位,然后在埃尔朗根的一个数学研究所找到一份无薪工作。数学就是她要为之奋斗的目标了。
1909年诺特成为德国数学家协会会员。一年一次的协会会议给年轻数学家提供了交流的机会,诺特积极参加,并在1909年的会议上做了第一次报告。她的不变量工作逐渐被数学界认可。曾访问过哥廷根的俄罗斯数学家帕维尔·亚历山德罗夫评价说,诺特在不变量上的工作“足以使她获得一流数学家的声誉”。
但是受戈尔丹影响,诺特的博士论文和早期的不变量工作都是用构造的方法,并且与抽象代数无关,她是如何转到抽象的方法呢?
转变
如果说老年的戈尔丹代表不变量研究的过去,那么年轻的希尔伯特就是未来。1888年26岁的希尔伯特到埃尔朗根访问戈尔丹,随后在1890年发表了一篇震惊数学界的论文,使用抽象的非构造的方法证明了一大类函数所有的不变量都可以用其中的有限个来表示,依据的是他证明的基定理,现在叫做希尔伯特基定理。戈尔丹抗议说这不是数学,是神学,但在希尔伯特后来给出一个构造性证明后心服口服。
1910年戈尔丹退休,他的位置先后由埃尔哈德·施密特和恩斯特·费歇尔接任。费歇尔也是不变量专家,但他的方法是希尔伯特式的。在费歇尔到来后,诺特一次又一次地和他讨论数学,从面谈到一封封的邮件。1919年诺特在自己的履历中写到,是费歇尔唤醒了她在抽象代数上的兴趣,确定了她之后的研究方向。
在哥廷根爆发

1915年,希尔伯特和克莱因邀请诺特来哥廷根大学,这个高斯、黎曼和戴德金都曾工作过的地方,并打算为她申请一个无薪讲师职位。但那时职位只给男性申请人,尽管希尔伯特强烈反对,认为性别不应成为拒绝的理由,并言辞激烈地说“这里是大学,不是澡堂”,也无法改变。
不过,她可以挂在希尔伯特的名字下讲课,就这样一直持续到1919年。期间她继续数学研究,发表了一篇论文。一战结束带来了政治和社会的新变化,女性有了在大学任教的资格。这篇论文成为诺特的任职申请论文,在通过口头答辩后,她取得了教师资格。
诺特在哥廷根研究了戴德金(1831-1916)和韦伯那篇著名的关于代数函数算术理论的工作,开始熟悉戴德金的理想理论,走上了抽象代数之路。戴德金是高斯最后一个学生,1852年在高斯指导下完成博士论文,1854年到1858年在哥廷根大学工作。戴德金极力避免从几何直观或者特殊的例子得出概念属性,而是给出充分的公理定义概念。从戴德金分割就可以看出,他没有从直线的连续直接得出实数的连续,而是在有理数集上用几条公理(条件)定义实数集,再证明实数的连续性。戴德金的理想出现在不同的问题中且起着不同的作用,没有发展出普遍的、一般的观点(文献[5])。
这里的理想是一个数学概念,是一种环。想象一个环形的手镯,它有两个圆。代数中的环是有两个运算的集合,例如我们熟悉的整数集对加法和乘法运算构成一个环,叫做整数环。整数环有一个唯一分解定理即算术基本定理,每一个整数都可以唯一分解成素数的乘积(不考虑顺序)。产生理想概念的一个原因就是为了在某些特殊的环中寻找理想的唯一分解定理。在诺特之前,戴德金、希尔伯特、恩斯特·施泰尼茨、亚伯拉罕·弗伦克尔、伊曼纽尔·拉斯克和弗朗西斯·麦考利相继研究了一些特殊环的分解属性,理想在其中扮演着重要的角色。
虽然不能把创立抽象代数的功劳完全归功于诺特,但诺特是在它创立过程中最具代表性的人物,没有第二个人可以和她相比。
1921年,即将40岁的诺特在《德国数学年刊》发表了论文“环的理想理论”。在这篇40多页的论文中,她用几条一般的、抽象的公理给出了交换环的定义,一种对两个运算都满足交换律的抽象环。相似的抽象环概念弗伦克尔也曾考虑过,但是他没有建立抽象环与理想分解之间的联系。诺特是第一个这样做的人。在文中诺特研究满足理想升链条件的交换环,也就是现在所说的诺特环,它是整数环的推广,但只保留了整数环的一个性质,即理想升链条件,是最广泛的推广(文献[2])。理想升链条件被戴德金在特殊的例子中使用过,即环中的理想一个接一个的包含在另一个理想中,这样的包含只有有限个。诺特在文中证明了诺特环中的四个理想分解定理。这些定理在她之前只在某个特殊的环中被证明过,需要依赖那个环的性质,但是她的证明只需要理想升链条件,是一种普遍的、抽象的推广。
桑德斯·麦克莱恩(1909-2005)说,“抽象代数成为一个显现的学科,是从诺特1921年的论文开始的”。

诺特1923年4月收到哥廷根大学的新合同,开始有了收入,可以教代数课,指导学生博士论文直至毕业。她的授课方式不能说优秀,尽管充满激情,包含新的数学思想,但完全抽象的方法让一些学生头疼。并且他们希望看到通过确定的论证得到干净的结果,而诺特会在课堂上开始一个新的证明。据范·德·瓦尔登(1903-1996)回忆,一次诺特在课堂上要讲马施克定理,她没有用经典的证明方法,而是用抽象的方法开始新证明,完全基于概念和公理,没有计算。她虽然课前做了准备,认为在课堂上能推导出来,但还是有一些地方没想清楚。她知道在课堂上得不到结果了,气得把粉笔扔到地上,狠狠地踩下去,难过地说:“好吧,我只能用我不喜欢的方法了。”然后用传统的方法证明了马施克定理。

事实上诺特是一个热心、充满关爱的老师。她的数学成就吸引了许多优秀学生,也影响了很多数学家。他们中的许多受到诺特慈母般的关怀,被称为诺特的男孩们。他们经常到诺特家中拜访,一起散步,谈论数学。一次在雨中散步,诺特的伞,不知道还能不能叫伞,已经无法对诺特提供太多的保护。她的学生建议修一下,她说:“是该修了,不过没必要。只有下雨才用,不下雨的时候我不会想它。” 
沃尔夫冈·克鲁尔1921到1922年在哥廷根跟随克莱因学习,但是受诺特的影响最大。他在1928年定义了交换诺特环的克鲁尔维数,得到了主理想定理,这是诺特抽象环理论的一个关键进展。

1927年,诺特第二篇重要的论文发表了。这两篇文章,连同克鲁尔的文章,成为交换代数的基础。此后诺特还研究了非交换代数、表示理论及非交换代数在交换代数中的应用,几乎触及当时代数的全部内容(除了纯粹的群理论),并改变了它的面貌,产生了新的代数传统---现代或抽象代数。
诺特的男孩中有一个中国学生叫曾炯之(Chiungtze Tsen,1889-1940,下图右前唯一坐着的男生),他受中国政府资助1928年到德国留学,受到诺特极大的鼓励和支持。曾炯之在1934年获得博士学位后到汉堡大学与埃米尔·阿廷合作,在那里遇见陈省身并成为好朋友。一年后他回到中国,先后在浙江大学、国立北洋工学院(天津大学前身)工作。由于日寇入侵,大学四处搬迁。1939年曾炯之来到新成立的国立西康技艺专科学校工作,第二年去世,只有42岁。他回国后在国内期刊发表过一些论文。但是他的大部分工作在1970年代前不被人所知,在克拉克·金伯林等数学家的努力下,曾炯之在抽象代数上的杰出贡献已经得到数学界的认可(文献[6])。

埃米尔·阿廷在哥廷根, 1933年7月. 从左到右依次是 Ernst Witt, Paul Bernays, Helene, Hermann, and Joachim Weyl, Artin, Emmy Noether, Ernst Knauf, unidentified person, Chiungtze Tsen, Erna Bannow(文献[4]).
出生于奥地利维也纳的著名代数学家埃米尔·阿廷(1898-1962,上图中阿廷在诺特身后)上大学时正值第一次世界大战爆发,他在第一学期结束后就被抽调进入奥地利军队参战,战后进入德国莱比锡大学学习,在取得博士学位后在哥廷根大学停留一年,然后去汉堡大学工作。受诺特工作的影响,阿廷在1927年发展出满足理想降链条件的阿廷环和相应的分解定理。
1924年,范·德·瓦尔登在阿姆斯特丹大学完成本科学位后来到哥廷根跟随诺特学习了七个月,之后回到阿姆斯特丹完成博士学位。在哥廷根,范·德·瓦尔登根据一个想法写了一篇论文给诺特看,诺特立刻推荐到《德国数学年刊》发表。后来他通过诺特的学生海因里希·格雷尔才知道,在他来哥廷根之前,诺特在一次课上已经讲过这个想法,得到过相同的结果。两人各自独立得到了同样的结果,而诺特在先,但是诺特从没跟范·德·瓦尔登提过。

谈到诺特对自己的影响,范·德·瓦尔登说,“我被她清晰的概念化和思考的抽象化所吸引,这对我影响极大。”1931年,范·德·瓦尔登的《现代代数》出版,这是第一本以诺特和阿廷的讲稿为基础的现代代数书,也就是现在常说的“抽象代数”。

范·德·瓦尔登和诺特,哥廷根,1929年夏(文献[4]).
范·德·瓦尔登后来把1920年到1934年称为"代数史上最伟大的时期之一" ,由诺特,埃米尔·阿廷等数学家开创了新的前沿。他说:
“诺特数学思想的本质包含在下面的名言中:所有数、函数和运算之间的关系在剥离特殊例子后变得清晰,泛化,富有成果,并且追溯到概念间的联系。我们称之为数学的抽象、公理化方法。这对我们来说是常识。但在诺特的时代不是这样,它们今天成为常识相当大的原因是由于她的工作。”(文献[3])

诺特在做出杰出工作的同时,接连失去了四位亲人。1915年她刚来哥廷根时母亲去世,1918年大弟阿尔弗雷德、1921年父亲、1928年最小的弟弟先后离世。她把痛苦和悲伤藏在心里,依次送别亲人。诺特视痛苦和不幸为生命的自然部分。无论是作为女性在职业上受到歧视,还是作为犹太人在1933年纳粹上台后遭到解雇,她都表现出非凡的镇定。

叶落,在美国
1933年,在找到美国布林莫尔学院访问教授的职位后,诺特于10月乘船到美国就职,并从1934年2月开始,每周到学院附近的普林斯顿高等研究院(IAS)作报告,讲授代数。爱因斯坦和外尔已在那里任职。听课者有奥斯卡·扎里斯基,他从诺特那里学到了现代代数,并用它建立了代数几何新的基础(文献[7])。那时的IAS给诺特的印象是“那是男人的大学,没有女人的地方。”不过她也意识到普林斯顿将会成为和哥廷根一样的地方。她曾对朋友说,“他们在数学上的标准,有些部分已经做的很好了。”

诺特在1934年夏回了一趟德国,看望自己的弟弟和朋友,1935年4月14日因肿瘤切除手术引起的并发症,在美国宾夕法尼亚州布林莫尔意外去世,年仅53岁。5月4日,爱因斯坦在发给纽约时报的悼文中说,
“大多数人在为每日的面包努力奋斗,但有一些人,他们通过机遇或者天赋,从这种奋斗中解脱出来,专注于改善世俗的命运。......。然而,这些个体默默走完他们的一生。尽管如此,他们努力的成果是最有价值的贡献,能够代代相传......
......在代数这个几世纪以来最有天赋的数学家们工作的领域,诺特的新方法在当前年轻一代数学家的工作中已经证明了它巨大的重要性......”(文献[8])

参考文献

[1] Auguste Dick, Emmy Noether, 1882-1935, 1981, Birkhäuser.

[2] 聂灵沼, 丁石孙, 《代数学引论》, 高等教育出版社.

[3] Israel Kleiner, A History of Abstract Algebra, Birkhäuser.

[4] David E. Rowe, Mechthild Koreuber, Proving It Her Way, Emmy Noether, a Life in Mathematics, Springer.

[5] Leo Corry, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Springer Basel AG.

[6] Shisun Ding, Ming-Chang Kang, and Eng-Tjioe Tan, Chiungtze C. Tsen (1898-1940) and Tsen's Theorems, Rocky Mountain Journal of Mathematics, Vol. 29, No. 4, 1999.

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